UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 3 Trigonometric Functions (त्रिकोणमितीय फलन)

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प्रश्नावली 3.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए।
(i) 25°
(ii) – 47° 30′
(iii) 240°
(iv) 520°

प्रश्न 2.
निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए (π = $\frac { 22 }{ 7 }$ ) का प्रयोग करें:
(i) $\frac { 11 }{ 16 }$
(ii) -4
(iii) $\frac { 5\pi }{ 3 }$
(iv) $\frac { 7\pi }{ 6 }$

प्रश्न 3.
एक-पहिया एक मिनट में 360° परिक्रमण करता है तो एक सेकंड में कितने रेडियन माप का कोण बनाएगा?
हल:
परिक्रमण में पहिया द्वारा बना कोण = 27 रेडियन
360 परिक्रमण में पहिया द्वारा बना कोण = 360 x 2π रेडियन
1 मिनट अर्थात् 60 सेकण्ड में 360 x 2π रेडियन का कोण बनता है।
1 सेकण्ट में चहिया द्वारा बना कोण = $\frac { 360\times 2\pi }{ 60 }$ = 12π रेडियन।

प्रश्न 4.
एक वृत्त जिसकी त्रिज्या 100 सेमी है, 22 सेमी लंबाई की चाप वृत्त के केन्द्र पर कितने डिग्री माप का कोण बनाएगी ? (π = $\frac { 22 }{ 7 }$ का प्रयोग कीजिए)

प्रश्न 5.
एक वृत्त जिसका व्यास 40 सेमी. है, की एक जीवा 20 सेमी. लंबाई की है तो इसके संगत छोटे चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
व्यास = 40 सेमी
त्रिज्या = 20 सेमी

प्रश्न 6.
यदि दो वृत्तों के समान लंबाई वाले चाप अपने केन्द्रों पर क्रमशः 60° तथा 75° के कोण बनाते हों, तो उन्क लिन्याओं को अनुपात ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 7.
75 सेमी लम्बाई वाले एक दोलायमान दोलक का एक सिरे से दूसरे सिरे तक दोन करने से जो कोण बनता है, उसका माप रेडियन में ज्ञात कीजिए, जबकि उसके नोक द्वारा बनाए गए चाय की लम्बाई निम्नलिखित हैं:
(i) 10 सेमी
(ii) 15 सेमी
(iii) 21 सेमी

प्रश्नावली 3.2

निम्नलिखित प्रश्नों में से पाँच अन्य त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
cos x = $\frac { -1 }{ 2 }$ , x तीसरे चतुर्थाश में स्थित है।

प्रश्न 2.
sin x = $\frac { 3 }{ 5 }$ , x दूसरे चतुर्थाश में स्थित है।

प्रश्न 3.
cot x = $\frac { 3 }{ 4 }$ , x तृतीय चतुर्थाश में स्थित है।
हलः
cot x = $\frac { 3 }{ 4 }$
OA = 3 इकाई

प्रश्न 4.
sec x = $\frac { 13 }{ 5 }$ , x चतुर्थ चतुर्थाश में स्थित है।

प्रश्न 5.
tan x = $\frac { -5 }{ 12 }$ , x दुसरे चतुर्थाश में स्थित है।

प्रश्न संख्या 6 से 10 तक के मान ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 6.
sin 765°

प्रश्न 7.
cosec (-1410)°

प्रश्न 8.
tan $\frac { 19\pi }{ 3 }$

प्रश्न 9.
sin ( $\frac { -11\pi }{ 3 }$ ).

प्रश्न 10.
cot ( $\frac { -15\pi }{ 4 }$ ).

प्रश्नावली 3.3

प्रश्न 5.
मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin (75°)

(ii) tan 15°

प्रश्न 10.
सिद्धि कीजिए : sin (n + 1)x sin (n + 2)x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x = cos x.
हल :
बायां पक्ष = sin (n + 1)x sin (n + 2) x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x
मान लीजिए (n + 2)x = A, (n + 1) x = B
= sin B sin A + cos B cos A
= cos A cos B + sin A sin B
= cos (A – B)
= cos ((n + 2) x – (n + 1) x] [A और B के मान रख कर ]
= cos (nx + 2x – nx – x)
= cos x = दाया पक्ष

प्रश्न 12.
सिद्धि कीजिए : sin² 6x – sin² 4x = sin 2x sin 10x
हल :
बायां पक्ष = sin² 6x – sin² 4x
= sin (6x + 4x) sin (6x – 4x)
( सूत्र sin² A – sin² B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करे]
sin 10x sin 2x
sin 2x sin 10x = दाया पक्ष

प्रश्न 13.
सिद्धि कीजिए : cos² 2x – cos² 6x = sin 4x sin 8x
हल :
बायां पक्ष = cos² 2x – cos² 6x
= 1 – sin² 2x – (1 – sin² 6x)
= sin² 6x – sin² 2x
sin² A – sin² B = sin (A + B) sin (A – B)
= sin² 6x – sin² 2x
= sin (6x + 2x) sin (6x – 2x)
= sin 8x sin 4x
= sin 4x sin 8x = दाया पक्ष

प्रश्न 14.
सिद्धि कीजिए : sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos² x sin 4x
हल :
बायां पक्ष = sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x
= (sin 2x + sin 6x) + 2 sin 4x
= 2 sin 4x cos 2x + 2 sin 4x
= 2 sin 4x (cos 2x + 1)
= 2 sin 4x (2 cos² x – 1 + 1)
= 4 sin 4x cos² x
= 4 cos² x sin 4x = दाया पक्ष

प्रश्न 15.
सिद्धि कीजिए : cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x – sin 3x)

प्रश्नावली 3.4

निम्नलिखित समीकरणों का मुख्य तथा व्यापक हल ज्ञात कीजिए (प्रश्न 1 से 4 तक):

प्रश्न 1.
tan x = √3.

प्रश्न 2.
sec x = 2.

प्रश्न 3.
cot x = -√3.

प्रश्न 4.
cosecx = -2.

निम्नलिखित में से प्रत्येक समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (प्रश्न 5 से 9 तक) :
प्रश्न 5.
cos 4x = cos 2x.
हलः
cos 4x = cos 2x
cos 4x – cos 2x = 0

प्रश्न 6.
cos 3x + cos x – cos 2x = 0.

प्रश्न 7.
sin 2x + cos x = 0.

प्रश्न 8.
sec² 2x = 1 – tan 2x

प्रश्न 9.
sin x + sin 3x + sin 5x = 0

अध्याय 3 पर विविध प्रश्नावली

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए : (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x – cos x) cos x = 0.
हल :
बायाँ पक्ष = (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x – cos x) cos x
= sin 3x sin x + sin2x + cos 3x cos x – cos²x
= (cos 3x cos x + sin 3x sin x) – (cos² x – sin² x)
= cos 2x – cos 2x [cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B]
= 0
= दायाँ पक्ष।

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में sin $\frac { x }{ 2 }$ , cos $\frac { x }{ 2 }$ और tan $\frac { x }{ 2 }$ ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 8.
tan x = $\frac { -4 }{ 3 }$ , x द्वितीय चतुर्थाश में हैं।

प्रश्न 9.
cosx = $\frac { -1 }{ 2 }$ , x तृतीय चतुर्थाश में है।

प्रश्न 10.
sin x = $\frac { 1 }{ 4 }$ , x द्वितीय चतुर्थाश में है।

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